金融随机分析概要：硬币抛掷概率空间、σ代数的性质

1.将一枚均匀硬币抛掷两次,写出概率空间(Ω,F,P).

2.设Ω是一个非空集合,F是Ω的所有子集构成的集合类,证明F是Ω上的σ代数.

3.设Ω是一个非空集合,H是Ω的一些子集构成的集合类,证明包含H的所有σ代数的交是一个包含H的σ代数.

4.设(Ω,F,P)是一个概率空间,X为随机变量,若A⊂B⊂(-∞,∞),证明X-1(A)⊂X-1(B).

5.设(Ω,F,P)是一个概率空间,X为随机变量,若A1,A2,…⊂(-∞,∞),证明

6.设(Ω,F,P)是一个概率空间,X为随机变量,若H1,H2都是(-∞,∞)的子集类,且H1⊂H2,证明X-1(H1)⊂X-1(H2).

7.设(Ω,F,P)是一个概率空间,X为随机变量,如果G是(-∞,∞)上的σ代数,证明X-1(G)是Ω上的σ代数.

8.若X,Y均为(Ω,F,P)上的简单随机变量,证明X+Y,XY,max{X,Y}也是(Ω,F,P)上的简单随机变量.(www.zuozong.com)

9.设X,Y均为简单随机变量,且X≤Y,证明E(X)≤E(Y).

10.设(X,Y)服从二元正态分布,E[X|Y]=E(X),证明X与Y相互独立.

11.设(X,Y)的联合概率密度为:

(1)讨论X与Y的独立性、相关性.

(2)求E(X|Y)和E(Y|X).

12.设(Ω,F,P)是一个概率空间,G是F的子σ代数,对任意常数c1,c2和可积随机变量X1,X2,证明E[c1X1+c2X2|G]=c1E[X1|G]+c2E[X2|G].

13.设(Ω,F,P)是一个概率空间,G是F的子σ代数,X1,X2,…为非负不减可积随机变量序列,证明