惯性矩的计算与关系式分析

在图5-7中,微面积dA 到两坐标轴的距离分别为y 和z,将乘积y2dA 和z2dA 分别称为微面积dA 对z 轴和y 轴的惯性矩。而把积分称为图形对z轴和y 轴的惯性矩。由惯性矩的定义可知,惯性矩是对一定的轴而言的,同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值,其量纲和单位与极惯性矩相同。

图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。由图5-7的几何关系可得

将上述关系式代入式(5-11)得

即

图5-10

式(5-13)表明,图形对任一点的极惯性矩,等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。

【例5-4】 矩形截面如图5-10所示,求矩形截面对正交对称轴y、z的惯性矩。

解：先求Iz 取微面积dA＝bdy,由式(5-12)得

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再求Iy。取微面积dA＝hdz,则由式(5-12)得

【例5-5】 求图5-8所示圆截面对形心轴y、z的惯性矩。

解：由[例5-3]知,圆截面对其圆心的极惯性矩为

由于圆截面对称于圆心,故其对于过圆心的任何轴的惯性矩均应相等,即Iy＝Iz。因此,由式(5-13)可得

同理,可得图5-9所示的空心圆截面对过其形心的y、z轴的惯性矩为

表5-2给出了一些常见图形的面积、形心和惯性矩计算公式,以便查用。工程中使用的型钢截面,如工字钢、槽钢、角钢等,这些截面的几何性质可从附录中查取。

表5-2　常见图形的面积、形心和惯性矩

图5-11