齿轮传动：啮合基本方程及相对速度表达式

锥齿轮副a、b 的共轭曲面 Σa、Σb在M 点相切时，两个曲面为共轭曲面，在M 点接触传动，如图2−5 所示。设曲面Σ（1）的方程为 r1，单位法矢为 n1，曲面Σ（2）的方程为 r2，单位法矢为 n2，两个运动坐标系原点之间的径矢为m，共轭曲面（包括完全共轭曲面和不完全共轭曲面）在接触点M 满足方程组：

图2−5　共轭曲面

其中，第一个矢量方程是两个曲面在 M 点接触所满足的条件，第二个矢量方程是两个曲面在 M 点相切所满足的条件，这是所有齿轮传动都应该满足的基本方程。本书进行齿面数学建模和齿面接触分析时都要用到式（2−2）。若用相对微分方法对式（2−2）的第一个方程进行微分，可得

其中，d1表示曲面Σ（1）关于坐标系 O1的相对微分，d2表示曲面Σ（2）关于坐标系 O2的相对微分，ω1表示曲面Σ（1）的角速度，ω2表示曲面Σ（2）的角速度，dm 表示两个运动坐标系原点之间的径矢为m 的微分。

在M 点处曲面Σ（1）和Σ（2）相对速度 v12为

式（2−3）可简化为

d1r1为曲面Σ（1）在M 点的一个切线方向，d2r2为曲面Σ（2）在M 点的一个切线方向，切矢与接触点公法矢n 垂直，即(www.zuozong.com)

将式（2−6）两端与M 点公法矢作点积，则有

除接触迹线方向dt=0 外，其他方向d0t≠0，则两个曲面在接触处还应该满足

式（2−8）为啮合方程，其物理意义是：两个运动曲面在法线方向的分速度相等才能保证曲面的持续啮合，否则两个曲面将在下一个啮合时刻脱离接触和相互啮合。

将式（2−2）代入式（2−4）可得相对速度的另外一个表达式为

其中

点接触共轭齿面在啮合位置应满足基本方程和啮合方程。