牛顿第一定律成立的参考系叫惯性参考系,简称惯性系。 相对于惯性系静止或做匀速直线运动的参考系都是惯性系,在不考虑地球自转,且在研究较短时间内物体运动的情况下,地球可看成是近似程度相当好的惯性系、牛顿第一定律不成立的参考系统都称为非惯性系,一切相对于惯性参考系做加速运动的参考系都是非惯性参考系。 在考虑地球自转时,地球就是非惯性系。 在非惯性系中,物体的运动不遵从牛顿第二定律但在引入惯性力的概念以后,仍可以利用牛顿第二定律的形式来解决动力学问题。
直线系统中,例如在加速前进的车辆里,车里的乘客都觉得自己好像受到一个向后倒的力,这个力就是惯性力,其大小等于物体质量m 与非惯性系相对于惯性系的加速度大小a 的乘积,方向与a 相反。 用公式表示,这个惯性力
应注意:惯性力只是一种假想的力,实际上并不存在,故不可能找出它是由何物所施,因而也不可能找到它的反作用力。 惯性力起源于物体惯性,是在非惯性系中物体惯性的体现。
转动系统中的惯性力简称惯性离心力,这个惯性力的方向总是指向远离轴心的方向。它的大小等于物体的质量m 与非惯性系相对于惯性系的加速度大小a 的乘积。 如果在以角速度转动的参考系中,质点到转轴的距离为r,则F惯= -mω2r。
相对转动参考系运动(而非静止)的物体,除了要受离心力作用外,还要受另一个惯性力,即科里奥利力的作用。 科里奥利力可以表示为FC =2mv×ω。 科里奥利力除具有惯性力的一般特征外,还具有以下三个特征:①与相对速度v 成正比,故只有当物体相对转动参考系运动时才会出现。 ②与转动参考系的角速度ω 的一次方成正比,故当角速度如较小时,科里奥利力比离心力更重要。 ③力的方向总是与相对速度垂直,故不会改变相对速度的大小。当ω 方向向上时,力指向相对运动的右方;当ω 方向向下时,力指向相对运动的左方。 如地球是一个转动系,在地球上运动的物体也受科里奥利力的作用。 在北半球,ω 向上,水流对右岸的冲击较剧烈;火车对右轨的压力较大(在南半球则对左岸和左轨作用大)。
典型例题
例1 如图3.1(a)所示,A、B 滑块质量分别是mA 和mB,斜面倾角为α,当A 沿斜面体D 下滑、B 上升时,地板突出部分E 对斜面体D 的水平压力F 为多大? (绳子质量及一切摩擦不计)
图3.1
解 首先选定A、B、D 构成的系统为研究对象,对这个系统而言,水平压力F 只引起质点A 水平方向加速度,因为B、D 在水平方向加速度均为零。 只要求出A 的加速度,其水平分量唾手可得,为了求A 的加速度,可另取以绳相连的A、B 为研究对象,在图3.1(b)所示坐标中建立牛顿第二定律方程。
对A、B、D 构成的系统有
F=mAax
对A、B 构成的系统有
mAg sin α-mBg=(mA +mB)a
又有
ax =a cos α
由以上三式,易得
例2 如图3.2 所示,两斜面重合的楔块ABC 和ADC 的质量均为M,AD、BC 两面呈水平,E 为质量等于m 的小滑块,楔块的倾角为α,各接触面之间的摩擦均不计,系统放在水平平台角上从静止开始释放,求两斜面未分离前小滑块E 的加速度。
解 设两斜面之间的弹力为N1,方向与AC 面垂直,E 与ADC 间有弹力N2,方向与AD 面垂直。 设楔块ABC、小滑块E的加速度分别为aB、aE,由于受桌面限制aB 必水平向左。 另外由于在水平方向不受力,aE 必竖直向下。 再设楔块ADC 相对于楔块ABC 的加速度为aDB方向必沿AC 向下。
由于系统在本平方向不受力作用,故有
aB =aDBcos α-aB
E 紧贴ADC,故有
aE =aDBsin α
对楔块ABC,在水平方向上有
N1sin α=MaB
对E,由牛顿第二定律有
mg-N2 =maE
对ADC 楔块,在竖直方向上有
N2 +Mg-N1cos α=MaDBsin α
联立方程,解得
图3.2
注:寻找各物体加速度之间的关系,一种办法是通过寻找制约条件,如本题中的解法。另外,也可通过分析短时间内的位移关系,利用“做匀变速运动的物体在相同时间内的位移与加速度成正比”这个结论,找到加速度之间的关系。
例3 如图3.3(a)所示,斜劈A 与地面间的动摩擦因数为μ,斜劈的倾角为α,一物体B放在斜劈的光滑斜面上。 问斜劈以多大的加速度运动,才能保持A、B 相对静止? 作用在斜劈上的力F 多大? (A、B 的质量为mA、mB)。
解 取A 为参考系,B 在这个参考系中应静止,因为A 是相对于地面有加速度的非惯性系,所以要加上一个惯性力mBa,方向向右,a 的大小等于A 相对地面的加速度。(www.zuozong.com)
图3.3
由图3.3(b)可知
mBa=mBg tan α
再利用整体法
联立解得
F=(mA +mB)(μ+tan α)g
巩固提升
1.用底面积相同,高度分别为H1 和H2,密度分别为ρ1、ρ2 的两块小长方体连接而成的大长方体,竖直地放在密度为ρ0 的液体中,平衡时液面恰好在ρ1、ρ2 的交界面位置,如图3.4(a)所示。 现让大长方体如图3.4(b)所示倒立在液体中,将大长方体从静止释放后一瞬间,试问大长方体将朝什么方向运动? 只考虑重力和浮力,试求此时大长方体运动的加速度大小a(答案只能用H1、H2 和重力加速度g 表示)。
图3.4
2.一条轻绳跨过一轻滑轮,滑轮和轴的摩擦可忽略。 在绳的一端挂一质量为m1 的物体,在另一侧有一质量为m2 的环,如图3.5 所示。 当环相对于绳以恒定的加速度a2 沿绳向下滑动时,物体和环相对于地面的加速度各为多少? 环与绳间的摩擦力为多大?
图3.5
图3.6
3.三个物体A、B、C 如图3.6 所示放置,已知mA =8 kg、mB =10 kg、mC =15 kg,B、C 与桌面的动摩擦因数分别为μB =0.25、μC =0.20,求物体A、B、C 的加速度和绳的张力。 重力加速度取g=10 m/s2。
4.如图3.7 所示,尖劈A 的质量为mA,一面靠在光滑的竖直墙壁上,另一面与质量为mB的光滑棱柱B 接触。 B 可沿光滑水平面C 滑动,求A、B 加速度aA 和aB 的大小及A 对B 的压力。
图3.7
图3.8
5.如图3.8 所示,质量为m1 的斜面,倾角为θ,放在光滑水平面上。 斜面上放有质量为m2 的物体,斜面是光滑的。 当m2 下滑时,求m1 的加速度。
6.如图3.9 所示,质量为M 的光滑圆形滑块平放在桌面上,一细轻绳跨过此滑块后,两端各挂一个物体,物体质量分别为m1 和m2(m1 ＞m2),绳子跨过桌边竖直向下,所有摩擦均不计,求滑块的加速度。
7.从地面以速度v1 竖直上抛一皮球,返回原地速率为v2。若皮球运动时受到的空气阻力与速率成正比,求皮球的运动时间t。
图3.9
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