液体运动微分方程解析：理想液体与实际液体的比较

忽略了黏性的液体为理想液体，它的任何表面上无切向力而仅有法向力，从而使理想流体的动压力具有静压力性质。在运动的理想流体中取一微小的平行六面体的质点，如图2-12所示。每边长度为dx、dy、dz，分别与相应的坐标轴x、y、z平行。质点上的外力有表面压力、质量力和惯性力。x轴方向的合力有下述几种。

1.表面力

A处的压力为ρ，它产生合力为-ρdydz，负号说明方向与x轴相反；B处压力ρ′=其合力为z，方向与x轴一致，前后两面的压力差为

图2-12 微元六面体的受力情况

2.质量力

以F_x、F_y、F_z分别表承流体单位质量力F在3个坐标方向的分力，则x轴方向的质量分力为F_xρdxdydz。

3.惯性力

x轴上的惯性分力为ρdxdydz（dv_x/dt）。根据牛顿第二定律，作用于六面体上的诸力在任一轴投影的代数和应等于六面体的质量与该轴分加速度的乘积。对于x轴有：

则理想流体单位质量在x轴方向的方程为

同理可得y、z轴方向的方程，联立为

式（2-9）为理想流体运动方程，亦称欧拉（Euler）运动微分方程。

但是实际流体都是有黏性的，因此在运动时，表面出现切向力。它具有摩擦力性质，故可以用牛顿内摩擦定律，即以动力黏度μ与速度梯度gradv乘积的负值来表示。同时黏性还使表面也产生法向应力的附加压力p′，亦可按此定律计算。与理想流体相比，由图2-11b可知，仅表面力不同，在x方向的合力为

则x轴方向的动平衡方程，经整理后得：(www.zuozong.com)

同理，对其他两坐标轴也可得类似方程，联立得以应力表达的实际流体的运动方程：

根据切应力成双定理：

并以牛顿内摩擦定律表示切向应力与法向应力，以方程组(2-12)中第一个方程为例，代入T_yx、T_xz以及p_xz=p+p＇_zxy,可化为

因连续性条件为

则式（2-14）变为

同理，对其余方程亦可得类似结果，最后方程组（2-12）化为比较简单易解得形式：

其中拉普拉斯算子，例：

式（2-16）即为诺维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程，显然，如忽略黏性力，它与欧拉方程形式相同。如果等式左边括号部分以汉弥尔登算子Δ形式表示，以运动粘度ν代替μ/ρ，则式（2-16）变为

因求切向应力与法向应力时，是以牛顿内摩擦定律为出发点，它只限于层流，故诺维-斯托克斯方程也使用于层流。在变换中引用了不可压缩流体的连续性微分方程，故它亦限于不可压缩流体。从式（2-16）可知，它包含4个未知量：动压力p和3个速度分量v_x、v_y、v_z。方程组（2-16）已有3个式子，再引入连续方程式（2-5），原则上可求出这4个未知函数。